人们普遍认为，掷硬币是一种快速、公平地解决随机纠纷的方法。当硬币被翻转时，有人会叫出正面或反面，硬币正面或反面的概率各占一半。但如果正面或反面的概率并不平均呢？阿姆斯特丹的一个由 48 名研究人员组成的小组花了好几天时间掷硬币，发现这种随机机会游戏的结果可能并不像大多数人认为的那样随机。



本世纪初，由佩尔西-迪亚科尼斯（Persi Diaconis）领导的美国三位数学家创造了一台抛硬币机，以研究一种假设。他们认为抛硬币远非随机。相反，他们认为抛硬币是一个物理问题，只要稍加调整，一个看似随机的过程就能产生 100% 可预测的结果。当然，人的手不像机器，但研究最终表明，大多数人在翻转硬币时会稍微偏向硬币朝上的一面。那些明显偏向同一面的人被称为"摇摆不定的抛币者"。根据计算，一般情况下，硬币正面朝上的概率为 51%。

为了对这一假设进行实证检验，阿姆斯特丹大学的一组研究人员开始了令人头疼的抛硬币活动。在许多天里，48 个不同的人翻动了 46 枚不同的硬币。最后，研究人员累计抛掷了 350,757 枚硬币。

"我们发现了压倒性的证据，证明迪亚科尼斯及其同事在2007年预测的'同面'偏差，"首席研究员之一弗兰蒂塞克-巴托斯解释说。"如果开始时正面朝上，硬币就更有可能正面朝上，反之亦然。偏差有多大？在我们的样本中，平均估计值为 50.8%，CI [50.6%，50.9%]"。

也许最引人注目的是不同掷硬币者的同面偏差差异。在 48 名参与者中，只有 10 人倾向于朝下的一面的可能性低于 50%。其余的人都偏爱朝上的一面，其中一些"最摇摆不定"的投掷者几乎有 60% 的时间都投在了同一面。

但是，这种同面偏向在现实世界的抛硬币中是否真的有意义呢？

悉尼科技大学数学与物理科学学院的斯蒂芬-伍德考克（Stephen Woodcock）认为，这并不意味着什么。伍德科克没有参与这项新研究。他说，研究中提到的效应大小是如此微小，几乎不会在任何实际的抛硬币场景中产生影响。

伍德科克在一封电子邮件中解释说："我不想说得太深奥，这几乎是一个关于什么是随机性的哲学问题。即使存在微小的影响（实话实说吧--即使在超过 35 万次掷硬币的巨大样本中，观察到的 50.8% 与 49.2% 的偏差也不过是每千次掷硬币中正面朝上的结果比真正的 50/50 比例多 8 次而已），这在现实世界中意味着什么吗？在大多数情况下，掷硬币者并不会刻意将硬币放在拇指上。这本身就是一种很强的随机化形式，而这项研究并没有考虑到这一点。"

伍德科克还指出，2009 年的一项研究首先质疑了抛硬币的随机性。这项研究让 13 名受试者尽可能多地掷出头像面。每个受试者都能轻易地、巧妙地操纵抛掷硬币，在大多数掷硬币的情况下偏向正面而不是反面。



2009 年的这些发现让人不禁质疑，最新研究中的参与者是否会有意无意地操纵结果，使其偏好正面朝上的掷硬币结果。在预印本文章中，巴托斯及其同事称这是一个"合理的担忧"，因为所有参与者都知道正在测试的假设。

研究人员写道："......不能排除一些参与者能够操纵掷硬币的结果，以产生同一面偏差。鉴于掷硬币过程的性质、视频记录中的证据以及数据与 D-H-M 模型预测之间的精确对应关系，我们认为这种可能性不大；需要在今后的工作中予以确证。"

最后，巴托斯及其同事得出的结论是，在高风险决策问题上，抛硬币者最好隐瞒硬币的起始位置。不过，在伍德科克看来，现实世界中的大多数抛硬币场景都不会提供观察或改变硬币起始位置的机会，因此这些微小的发现对日常生活来说相对毫无意义。

伍德科克指出："我是一名合格的足球裁判，我可以坦率地说，我从来没有注意过在翻转硬币之前，我是把硬币头朝上还是头朝下放在拇指上。"